LESIA - Observatoire de Paris

L’extrapolation des champs magnétiques en altitude

mardi 6 janvier 2009, par Jean-Marie Malherbe & Sylvain Cnudde

L’extrapolation des champs magnétiques en altitude

On a vu que la mesure des champs magnétiques est difficile dans la couronne solaire. Une façon d’y accéder consiste à mesurer les champs magnétiques sur la surface du Soleil, qu’on extrapole ensuite vers la couronne au moyen d’un modèle mathématique. L’équilibre magnétostatique d’une boucle de champ magnétique est régi par la loi de l’équilibre des forces de gravitation ρ g, de Laplace j Λ B et de pression - grad P (exprimées par unité de volume) :

ρ g + j Λ B - grad P = 0

j est la densité de courant électrique, B le champ magnétique, g l’accélération de la pesanteur, ρ la masse volumique et P la pression gazeuse. La densité de courant électrique j se déduit d’une des équations de Maxwell en régime permanent : rot B = μ0 j

On s’intéresse à la classe particulière d’équilibres hydrostatiques sans force magnétique tels que : j Λ B = 0 et ρ g = grad P

Lorsque j est colinéaire à B, c’est à dire s’il existe un coefficient α (généralement dépendant de la position x, y, z) tel que μ0 j = rot B = α B, alors la force magnétique j Λ B s’évanouit.

En prenant le rotationnel de l’équation rot B = α B, on obtient l’équation :

ΔB + rotB) = 0 soit ΔB + α rot B + gradα Λ B = 0, soit :

ΔB + α² B + gradα Λ B = 0

avec Δ opérateur Laplacien (∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²)

Il faut y ajouter l’équation de Maxwell div B = 0

Lorsque α = 0, le champ est dit potentiel (sans courant). Il est solution de l’équation de Laplace

ΔB = 0

Lorsque α ≠ 0, le champ est dit sans force. Une classe spéciale (appelée sans force linéaire) est celle où α est constant dans l’espace. Dans ce cas gradα = 0, et on doit résoudre l’équation d’Helmholtz :

ΔB + α² B = 0

La résolution à α constant à partir d’une condition aux limites imposée par les mesures de champ magnétique sur la surface du Soleil est illustrée par les deux exemples suivants :

Extrapolation des champs magnétiques (à droite) au dessus d’une région active présentant des boucles chaudes visibles en rayons X mous (à gauche, instrument YOHKOH/SXT). © Observatoire de Paris et JAXA

Extrapolation des champs magnétiques au dessus des taches, la carte en niveaux de gris représente le champ magnétique sur la surface du Soleil. © Observatoire de Paris