La question du saucisson
Un problème de la vie de tous les jours : un saucisson de forme imprécise doit être partagé entre deux personnes de façon la plus égale possible. En combien de tranches de même épaisseur le couper (par exemple avec la machine à jambon du charcutier) et comment distribuer les tranches ?
Même question, mais cette fois-ci le saucisson est à partager entre k convives.
Tranchons la question
Pour répondre aux deux problèmes, on doit juste faire l'hypothèse que la surface d'une section du saucisson est une fonction polynomiale de degré n de la coordonnée z suivant la longueur du saucisson. Par exemple, le saucisson pourrait être de symétrie de révolution (ce n'est pas obligatoire) et son rayon varier suivant z comme r(z) = z (1-z) quand z varie entre 0 et 1. Cela lui donnerait une forme de fuseau pas très orthodoxe, mais c'est pour l'exemple. La surface des sections serait alors la fonction polynomiale S(z) = π r(z)2 = π (1-z)2 z2.
Solution du premier problème : il suffit de découper le saucisson en N = 2(n+1) tranches de même épaisseur et de répartir les tranches entre les deux convives suivant la suite de Prouhet-Thué-Morse :
ab ba ba ab ba ab ab ba....
les tranches a pour l'un et les tranches b pour l'autre. On aura en effet une surface totale des tranches du premier convive qui sera Σ S(i/N) où les i sont les rangs des a dans la suite de PTM ; c'est une somme de différentes puissances des i qui est donc égale à la somme de puissances des j qui eux sont les rangs des b dans la suite de PTM.
Réponse au deuxième problème : il suffit de découper le saucisson en N = k(n+1) tranches de même épaisseur et de répartir les tranches entre les k convives suivant la suite de Prouhet-Thué-Morse : par exemple pour k=3 :
abc bca cab bca cab abc cab abc bca
les tranches a pour le premier convives, les tranches b pour le second, les c pour le troisième et ainsi de suite. Les sommes des surfaces des tranches sont bien toutes identiques : tous les convives ont bien reçu une portion égale de saucisson.