0.1.3 Cas d'un fluide parfait: équations d'Euler

Le fluide est dit parfait lorsque les effets de viscosité peuvent être négligés: la loi de comportement (3) est alors réduite à

$$\sigma_{ij}= -p\delta_{ij}$$ (10)

Les équations du mouvement s'écrivent:

$$\rho\left(\frac{\partial \vec{U}}{\partial t} + (\vec{U}\cdot\vec{\nabla})\vec{U}\right) + \vec{\nabla} p = \vec{f}$$ (11)

et sont appelées ``équations d'Euler''.

Cas incompressible, homogène

Dans ce cas, il faut ajouter comme précédemment :

$$\rho=\rho_{0} \;\;\;{\rm et}\;\;\; \vec{\nabla}\cdot \vec{U}=0$$ (12)

Les cinq relations (11) et (12) permettent avec des conditions aux limites adéquates, la détermination des inconnues $u_{i}$ et celle de la pression à une constante près.

Fluide compressible barotrope

Si le fluide est compressible, (12) est remplacé par

$$\frac{{\partial}\rho}{{\partial}t} + \vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{U}) = 0$$ (13)

il faut donc une information supplémentaire: par exemple le fluide peut être barotrope, c'est-à-dire qu'il existe une loi d'état $p=g(\rho)$ de nature thermodynamique reliant la pression à la densité du milieu. Ce type de loi englobe en particulier les deux cas classiques:
- $p={\rm Cte} \times \rho$ d'un gaz parfait à chaleur spécifique constante en évolution isotherme.
- $p={\rm Cte} \times \rho^\gamma$ d'un gaz parfait à chaleur spécifique constante en évolution adiabatique.

Les conditions aux limites (4),(5) sont dans ce cas surabondantes; il faut tenir compte ici du fait que l'ordre des dérivées des équations du mouvement est passé de deux à un avec la disparition du Laplacien de $\vec{U}$. On se contentera de la condition (condition de glissement sur une paroi fixe $\Gamma$ limitant le volume $\Omega$):

$$\vec{U}\cdot\vec{n}=0$$ (14)