0.2.3 Lois de comportement thermomécaniques d'un fluide

On cherche à généraliser la loi de comportement (3) pour qu'elle rende également compte de la relation entre les contraintes et les caractéristiques thermodynamiques du fluide, comme le flux de chaleur et la température. On va le faire en caractérisant la diffusion de l'énergie dans le milieu due aux effets (supposés découplés) de la viscosité du fluide et de la conduction thermique du fluide. Dans la loi de comportement (3) le terme $\tau_{ij}=\lambda\sum_{k=1}^{3}\varepsilon_{kk}(u)\delta_{ij} +2\mu\varepsilon_{ij}(u)$ représente les contraintes visqueuses et aboutit, via l'équation de conservation de l'énergie (30), à définir une diffusion d'énergie d'origine purement mécanique $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \tau_{ij} \varepsilon_{ij}$ dite de dissipation visqueuse.

Pour préciser le terme de dissipation thermique, on adopte souvent en première approximation la loi de conduction de Fourier qui de façon générale s'écrit:

$$Q_i= \sum_{j=1}^{3} -K_{ij} \frac{\partial T}{\partial x_j}$$ (32)

où le tenseur de conduction thermique $K_{ij}$ dépend en général de la température. En fait dans le cas d'un milieu isotrope, cas des fluides en général : $K_{ij} = k \delta_{ij}$ et donc

$$\vec{Q} = -k \vec{\nabla}T$$ (33)

Dans ce cas, on peut montrer que le terme de dissipation thermique $\Phi_{th}$ s'écrit:

$$\Phi_{th} = \frac{k}{T} \vert\vec{\nabla}T\vert^2$$ (34)

Cas particulier d'un fluide visqueux, homogène, incompressible, à chaleur spécifique constante:
Équation de la chaleur

La donnée des coefficients de dissipation $k$ et $\mu$, supposés généralement constants quand le fluide est incompressible, suffit pour définir le comportement qui s'écrit

$$\sigma_{ij}= -p\delta_{ij} + 2\mu \varepsilon_{ij}(u)$$

$$q_i= -k \frac{\partial T}{\partial x_i}$$ (35)

La relation d'incompressibilité $\vec{\nabla}\cdot\vec{U} = 0$ tient lieu de loi d'état car elle implique en particulier: $\rho_0$=constante. Il suffit donc de connaître $E(T)$, ou ce qui revient au même, la chaleur spécifique du fluide. Si elle est constante et égale à $c$, on a: $E=cT$.

On a vu que le système d'équations de Navier-Stokes permet la détermination de $\vec{U}$ et du gradient de $p$. Les effets thermiques sont bien ici découplés des effets mécaniques. En l'absence de source de chaleur $(R=0)$, l'équation de l'énergie (30) s'écrit, compte-tenu des relations précédentes:

$$\rho_0 c \frac{{\rm d}T}{{\rm d}t} = 2\mu \sum_{i=1}^{3} \su... ...psilon_{ij} \frac{\partial u_i} {\partial x_{j}} + k \Delta T$$ (36)

soit

$$\rho_0 c \frac{\partial T}{\partial t} - k \Delta T + \rho_0... ...=1}^{3} \varepsilon_{ij} \frac{\partial u_i} {\partial x_{j}}$$ (37)

moyennant des conditions initiales et aux limites adaptées (notamment du type de (31)), cette relation permet de déterminer $T$ lorsque $U$ est préalablement calculé par résolution de Navier-Stokes.

Dans le cas particulier d'un fluide parfait ($\mu=0$) et si l'on peut faire une hypothèse de petites perturbations (faibles vitesses et faibles gradients de température), l'équation précédente se réduit à l'équation dite de la chaleur, qui est du même type mathématique que les équations de diffusion visqueuse (22) déjà évoquées précédemment:

$$\rho_0 c \frac{\partial T}{\partial t} - k \Delta T = 0 \;\;{\rm ou}\;\; f$$ (38)

s'il existe une source de chaleur volumique $f$.