0.1.5 Cas des écoulements stationnaires
exemples de problèmes linéaires

Un écoulement est dit stationnaire ou permanent si la vitesse ne dépend pas explicitement ⁶ du temps, i.e. $\frac{\partial \vec{U}}{\partial t}=0$.

Dans un écoulement stationnaire, le problème de Navier-Stokes est réduit à:

$$\vec{\nabla}\cdot \; \vec{U} = 0$$

$$(\vec{U}\cdot\vec{\nabla})\vec{U} + \vec{\nabla} p/\rho_{0} = \vec{f}/\rho_{0} + \nu\Delta\vec{U}$$ (16)

$$\vec{U} = 0 \;{\rm sur}\; \Gamma$$

Tandis que le mouvement stationnaire d'un fluide parfait barotrope s'écrit (équations d'Euler indépendantes du temps):

$$\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{U}) = 0$$

$$(\vec{U}\cdot\vec{\nabla})\vec{U} +\frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p = \frac{\vec{f}}{\rho}$$ (17)

$$p=g(\rho)$$

$$\vec{U}\cdot\vec{n}=0 \;{\rm sur}\; \Gamma$$

Nous allons donner trois exemples où l'une ou l'autre des équations précédentes conduisent à des systèmes linéaires d'équations aux dérivées partielles (agrémenté parfois d'un système d'équations non-différentiel mais non-linéaire à résoudre).

Écoulement stationnaire irrotationnel d'un fluide parfait incompressible

On considère l'écoulement engendré par un obstacle solide indéformable au sein d'un fluide parfait incompressible, et on suppose le champ de vitesse irrotationnel (ou si l'on préfère on ne s'intéresse qu'à la partie irrotationnel de l'écoulement). Dans ce cas, il existe un potentiel $\Phi$ tel que $\vec{U}=\vec{\nabla}\Phi$; $\Phi$ ne dépendant que de la position $\vec{x}$ dans le cas stationnaire. Toujours dans ce cas $\Omega(=$ extérieur de l'obstacle) est non borné et $\Gamma$ est la paroi de l'obstacle.

L'incompressibilité d'une part et les conditions aux limites de (18) d'autre part se traduisent alors par :

$$\rho=\rho_{0}$$

$$\Delta\Phi =0$$ (18)

$$\frac{\partial\Phi}{\partial n}=0 \;{\rm sur}\; \Gamma$$

qui contient une équation du type de l'équation de Poisson ( c'est-à-dire du type formel $\Delta u = f$ ou 0), et l'équation d'Euler conduit à :

$$\vec{\nabla}\left(\frac{U^{2}}{2}+\frac{p}{\rho_{0}}\right) = \frac{\vec{f}}{\rho_{0}}$$ (19)

de telle sorte que, si les forces extérieures (souvent le poids du fluide) dérivent d'un potentiel $\Upsilon$, on a la relation

$$\frac{U^{2}}{2}+\frac{p}{\rho_{0}} -\Upsilon = {\rm constante}$$ (20)

Les relations (19) et (20) doivent permettre la détermination de $\vec{U}$ puis de $p$, dans la mesure où $p$ est connu en un point ou à l'infini.

Écoulement stationnaire d'un fluide visqueux incompressible dans une conduite cylindrique

C'est un problème classique à une dimension. Des pressions $p_{1}$ et $p_{2}$ constantes sont imposées respectivement aux deux extrémités de la conduite de grande longueur $L$ et l'on suppose que les forces volumiques extérieures (poids du liquide) sont négligeables par rapport au gradient de pression (i.e. $\vec{f}=0$). On modélise la conduite par un cylindre infini et l'on remplace alors les données effectives $p_{1},p_{2}$ et $L$ par celle de la chute linéique de pression $R > 0$ définie par $-R=(p_{2}-p_{1})/L$.

On cherche alors une vitesse $u_{1}$ (dans la direction du tuyau, les autres composantes étant nulles) solution du problème de Navier-Stokes 17 qui se réduit alors à: $\partial p / \partial x_{1} = \mu \Delta u_{1}$, les autres dérivées partielles de $p$ étant nulles. $p$ ne dépend donc que de $x_{1}$, cependant que $u_{1}$ ne dépend que de $x_{2}$ et $x_{3}$ (identiquement), on a donc $\frac{\partial p}{\partial x_{1}} = 2 \mu \frac{\partial^{2}}{\partial^{2}x_{2}}(u_{1}) =$ constante $= - R$.

Finalement, compte-tenu de la condition d'adhérence de (17), le problème se réduit à chercher la vitesse d'écoulement $u$ en fonction de la distance $r$ au centre de la conduite en résolvant l'équation différentielle ordinaire:

$$2\frac{d^{2}u}{dr^{2}}= - \frac{R}{\mu}$$ (21)

avec la condition $u(\pm a)=0$, où $a$ est le rayon de la conduite, et dont la solution parabolique ne fait aucun mystère si $R > 0$. En fait, la viscosité du fluide exerçant une action de freinage sur les particules, il n'est pas étonnant qu'il faille imposer une chute de pression dans la conduite pour qu'il existe une solution stationnaire. Notons par contre que si l'on veut traiter du même problème à pression constante, la vitesse d'écoulement devra dépendre du temps et conduira, avec des raisonnements analogues au cas stationnaire mais en utilisant les équations de Navier-Stokes (9), à des équations de diffusion visqueuse du type

$$\frac{\partial u}{\partial t} - \nu \Delta u = 0$$ (22)

u désigne toujours une vitesse scalaire dans la direction de l'axe de la conduite, et ne dépend comme précédemment que de $x_{2}$ et $x_{3}$. Mais ce problème nécessite, même dans sa version la plus simple esquissée ici, un traitement mathématique et numérique relativement compliqué.

Écoulement plan stationnaire d'un gaz parfait barotrope

Nous nous intéressons ici à la perturbation (supposée petite) d'un écoulement uniforme par on obstacle cylindrique, de longueur supposée infinie, dont l'axe est perpendiculaire à la direction de l'écoulement. Le fluide est supposé parfait et compressible barotrope. On choisit la section droite de l'obstacle comme plan $Ox_{1}x_{2}$.

Soit donc $\vec{U}_{\infty}$ la vitesse uniforme de l'écoulement avant perturbation ($Ox_{1}$ est choisi parallèle à $\vec{U}_{\infty}$ et $U_{\infty}$ est le module de cette vitesse. On note $\rho_{\infty}, p_{\infty}$ et $C_{\infty}$ les masse volumique, pression et vitesse du son du fluide initial. La quantité $M=U_{\infty}/ C_{\infty}$ est appelé le nombre de Mach de l'écoulement non perturbé.

On définit la perturbation à l'aide d'un paramètre «infiniment petit» noté $\epsilon$ dont la signification physique (à préciser dans chaque cas à traiter) est liée ici au fait que $U_\infty$ est grand et l'obstacle est petit par rapport au domaine «sans limite» dans lequel il est plongé. Les grandeurs caractérisant l'écoulement perturbé sont alors: $U_\infty + \epsilon u_1,\;\; \epsilon u_2,\;\; p_\infty +\epsilon p,\;\; \rho_\infty +\epsilon \rho$.

La linéarisation du système d'Euler stationnaire (18), conduit alors au système :

$$U_\infty \frac{\partial\rho}{\partial x_1} + \rho_\infty\left( \frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\right)=0$$ (23)

$$U_\infty \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{1}{\rho_\infty} \frac{\partial p}{\partial x_1}=0$$ (24)

$$U_\infty \frac{\partial u_2}{\partial x_1} + \frac{1}{\rho_\infty} \frac{\partial p}{\partial x_2}=0$$ (25)

à résoudre sur $\Omega$ qui est alors le complémentaire dans $\rm {R}^2$ de la section droite de l'obstacle. Mais $p=g(\rho)$, loi d'état du fluide barotrope considéré, implique: $p_\infty + \epsilon p = g(\rho_\infty +\epsilon\rho)$ et donc au premier ordre:

$$p=\left(\frac{{\rm d}g}{{\rm d} \rho}\right)_\infty = C_\infty^2\rho$$ (26)

Les conditions naturelles à l'infini sont:
$U_\infty + \epsilon u_1=U_\infty;\;\; \epsilon u_2=0;\;\; p_\infty +\epsilon p=p_\infty;\;\; \rho_\infty +\epsilon \rho=\rho_\infty$. Ce qui implique:
$u_1\vert _\infty =0; \;\; u_2\vert _\infty =0; \;\; p\vert _\infty=0; \;\; \rho\vert _\infty=0$. Compte-tenu de (24), on a donc:

$$p= -\rho_\infty U_\infty u_1$$ (27)

De (25) on déduit alors: $\vec{\nabla}\wedge\vec{u} = 0$ et donc la possibilité d'introduire un potentiel $\phi(x_1,x_2)$ tel que $u=\vec{\nabla}\phi$; on considère plus précisément: $\phi(x_1,x_2)= \int_{-\infty}^{x_1} u(\xi,x_2) d\xi$. Alors (23) implique que $\phi$ satisfasse :

$$(1-M^2)\frac{\partial^2\phi}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial x_2^2} = 0$$ (28)

équation elliptique, parabolique ou hyperbolique suivant que la vitesse à l'infini (i.e. le mouvement de l'obstacle) est subsonique ( $U_\infty < C_\infty$), transsonique ( $U_\infty = C_\infty$) ou supersonique ( $U_\infty > C_\infty$).

La condition aux limites naturelle sur l'obstacle, puisque le fluide est parfait, est une condition de glissement de type (14) sur la frontière $\Gamma$ de l'obstacle. Cette condition doit être aussi linéarisée et s'explicite au cas par cas, ce qu'on ne fera pas ici. Notons seulement que ces conditions de glissement se traduirons par des conditions en $u$ donc en dérivées premières de $\phi$ sur la frontière $\Gamma$ de l'obstacle.

En bilan, l'écoulement perturbé est donc déterminé à partir du potentiel $\phi$, solution de (28), avec $\vec{\nabla}\phi = 0$ à l'infini, moyennant des conditions sur les dérivées premières de $\phi$ sur $\Gamma$. Une fois $\phi$ calculé, on en déduit:

$$\vec{u}=\vec{\nabla}\phi; \;\;\; p= -\rho_\infty U_\infty u_1; \;\;\; \rho = \frac{p}{C^2_\infty}$$ (29)