0.3.2 Élasticité linéaire isotrope ou élasticité classique

La théorie de l'élasticité linéaire se situe d'une part dans le cadre de la description des solides lentement déformables⁸ esquissée ci-dessus, et d'autre part on impose que la loi de comportement élastique reliant le tenseur des contraintes à celui des déformations est linéaire. Lorsque de plus le solide élastique a un comportement isotrope (c'est-à-dire ne privilégie aucune direction de l'espace), on obtient la loi de comportement de Hooke:

$$\sigma_{ij}=\lambda\sum_{k=1}^{3}\varepsilon_{kk}(u)\delta_{ij} +2\mu\varepsilon_{ij}(u)$$ (41)

$\lambda$ et $\mu$ sont les coefficients de Lamé. Le système linéaire que constitue l'équation (41) s'inverse facilement:

$$\varepsilon_{ij}(u)= \frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij} -\frac{\nu}{E}\sum_{k=1}^{3}\sigma_{kk}\delta_{ij}$$ (42)

où on a posé $E=(3\lambda+2\mu)\mu/(\lambda+\mu)$ qui est le module d'Young et $\nu=\lambda/2(\lambda+\mu)$ qui est le coefficient de Poisson.

Dans la pratique, ce sont les module d'Young et coefficient de Poisson qui sont connus expérimentalement pour un matériau homogène donné et on en déduit les coefficients de Lamé :

$$\lambda=\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \; \; \; \; \; \; \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}$$ (43)

Toujours dans le cas d'un matériau homogène, les différents coefficients introduits ci-dessus sont des constantes et dans ce cas, la conservation de la quantité de mouvement (40) s'écrit vectoriellement:

$$\rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{U}}{{\partial t}^{2}} - \mu \... ...ambda + \mu) \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot \vec{U}) =\vec{f}$$ (44)

ou sous la forme équivalente

$$\rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{U}}{{\partial t}^{2}} -(\lam... ...\mu \vec{\nabla} \wedge \vec{\nabla} \wedge \vec{U} =\vec{f}$$ (45)

On en dira pas davantage⁹ concernant les problèmes dynamiques (i.e. dépendant du temps) de l'élasticité linéaire, si ce n'est qu'on peut deviner au vu de l'équation (44) qu'ils peuvent mener sous certaines hypothèses et cas particulier (notamment d'étude des vibrations dans un milieu élastique) à l' équation modèle des ondes de type (expression formelle où u désigne un champ inconnu scalaire)

$$\frac{\partial^{2}u}{{\partial t}^{2}} - \Delta u =f \;{\rm ou} \; 0$$ (46)