... comportement¹

On peut imaginer (et il existe) des lois de comportement plus complexes que l'éq.(3) pour un fluide : disons simplement que pour décrire les fluides dits «classiques» ou «newtoniens» considérés ici, les contraintes sont supposées dépendre linéairement des déformations, ce qui conduit à des lois de comportement de type (3). Dans tous les autres cas, le fluide sera dit «non newtonien».

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... fluide²

Des conditions supplémentaires de continuité sont généralement nécessaires, notamment pour décrire des systèmes comportant plusieurs fluides, à la traversée d'une surface de contact (séparation entre deux fluides non miscibles et en particulier, surface libre en contact avec l'atmosphère). Ces conditions sont relativement simples à énoncer ( par exemple égalité des vitesses et des pressions de part et d'autre de la surface de contact), mais il faut savoir que le problème d'écoulement fluide est alors très sérieusement compliqué par le fait que la surface de contact est une inconnue supplémentaire du problème, ce qui nécessite des traitements analytiques et/ou numériques au cas par cas. C'est pourquoi nous n'aborderons pas ici ce type de problèmes et nous nous limiterons au cas ou le volume $\Omega$ est limité par une paroi solide ou au cas complémentaire (fluide infini baignant un objet solide), ou un mélange des deux

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... vectorielle³

le terme non-linéaire dans (9) s'écrit aussi: $(\vec{U}\cdot\vec{\nabla})\vec{U}=\vec{\nabla}U^{2}/2 - \vec{U} \wedge\vec{\nabla} \wedge \vec{U}$

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... Stokes⁴

ce système nécessite a priori aussi une condition initiale sur l'état du système à un temps $t_{0}$, mais comme il est surtout utilisé dans le cas stationnaire, nous l'avons omise ici

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... fluides⁵

Ce survol des grandes équations de la mécanique des fluides classique est empruntée pour l'essentiel au premier chapitre de Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les techniques, de R. Dautray et J-l Lions, Ed. Masson, Paris, 1987, qui constitue une véritable encyclopédie de l'analyse mathématiques des grandes équations posées en Physique, mais est d'un niveau mathématique très élevé et à ce titre peu utilisable comme simple «boite à outil» pour la résolution numérique des équations de Navier-Stokes par exemple. On trouvera par contre une description assez complète et très pragmatique des méthodes numériques utilisées spécifiquement en mécanique des fluides dans Computational methods for fluid flow, de R. Peyret et T.D. Taylor, Springer-Verlag, New-York, 1990

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... explicitement⁶

Attention, le vecteur accélération des particules n'est pas nul, on a en effet: $\frac{{\rm d}u_{i}}{{\rm d}t}=\vec{U}\cdot\vec{\nabla}u_{i}$

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... d'applications⁷

Lorsque $R$ et $\vec{Q}$ sont nuls en même temps, l'évolution du milieu est dite adiabatique.

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... déformables⁸

On suppose également que les effets mécaniques et thermiques sont découplés et peuvent être étudiés séparément

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... davantage⁹

voir le cours spécifique d'élasticité linéaire et éléments finis

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... équations¹⁰

ou, de manière équivalente: $-(\lambda + 2\mu) \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot \vec{U})+ \mu \vec{\nabla} \wedge \vec{\nabla} \wedge \vec{U} =\vec{f}$

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... champs¹¹

en fait dans la plupart des problèmes, les contraintes et les déplacements ne peuvent être déterminés indépendamment l'un de l'autre, d'où le succès des «formulations variationnelles» pour résoudre ces problèmes

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... généralisée¹²

brièvement, pour tout tenseur $t_{ij}$, on $\int_{\Omega}\partial t_{ij}/\partial x_k d\Omega = \int_{\partial \Omega} t_{ij}\cdot n_k d\varsigma$

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... régulier¹³

disons que $v$ est supposé être une fonction de carré intégrable sur $\Omega$

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... vous¹⁴

mais que vous utiliserez d'autant mieux que vous avez une idée précise de ce qu'ils font

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... l'antenne^1.1

le signal réel collecté en entrée du récepteur n'est pas exactement $V_{\omega }^{2}$ puisqu'il dépend aussi des impédances du récepteur et de l'antenne. On verra plus de détails dans la section 1.2, mais notons que la référence de base pour ces calculs de bruit thermique pour différents types d'antenne est: Tool Kit Antennae and Thermal Noise Near the Plasma Frequency, N. Meyer-Vernet and C. Perche, Journal of Geophysical Research, Vol.94, pp 2405-2415, 1989.

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... conditions^1.2

on verra qu'essentiellement l'antenne doit être plusieurs fois plus longue que la longueur de Debye $L_D\propto \sqrt{T/n}$ pour résonner aux ondes de Langmuir.

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... maxwellienne^1.3

en général, on utilise une distribution c÷ur+halo; comme il ne s'agit pas d'une distribution exactement maxwellienne, on parle alors de bruit quasi-thermique

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... numérique^1.4

On utilisera ici Numerical Recipes in Fortran(90) - The Art of Scientific Computing, W.H Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling and B.P. Flannery

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... mission^1.5

Ulysse a été lancé fin 1990, est opérationnel actuellement et sa mission devrait officiellement s'achever en 2002

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... Z)^1.6

qui ne présente pas d'intérêt pour notre étude, sinon que son signal est (malheureusement) quelquefois sommé à celui de l'antenne S

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... Meudon^1.7

précisément au Département de Recherche Spatiale

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... froids^1.8

Notons que le diagnostic du bruit quasi-thermique peut être étendu (cf figure 1.1) à l'estimation de la vitesse du vent solaire (dont les équations (1.1) et (1.2) dépendent) en tenant compte du bruit thermique des protons décalé Doppler (au dessous de la fréquence plasma).

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... brin^1.9

cette approximation est valide dès lors que $\omega L/c \ll 1$ et que $a/L_D\ll 1$

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... plasmas^1.10

ou des gaz neutres (poser $q_{\alpha}=0$): les équations de Navier-Stokes ou des ``fluides classiques'' ne sont en fait qu'une approximation ``continue'' de l'équation de Boltzmann

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... moments^1.11

le moment d'ordre $q$ d'une distribution $f(v)$ est formellement $M_{q}=\int v^{q} f(v) d^{3}v$; la densité est le moment d'ordre 0

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... diélectrique^1.12

c'est pourquoi on parle aussi pour $\epsilon_L$ de fonction diélectrique du plasma

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... amorties^1.13

notons que les modes faiblement amortis se caractérisent par une fréquence complexe de partie imaginaire négative ou nulle (sinon il y a instabilité) et telle que $\vert\omega_{im}\vert \ll \vert\omega_{re}\vert$

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... utilisant^1.14

poser $x=v/v_{th}$ et calculer sur un contour entourant $z$ (dit contour de Landau) le prolongement analytique, dans le demi-plan complexe $(\omega_{re},\omega_{im})$ des ondes stables, de la fonction $1/\sqrt{\pi}\int_{-\infty}^\infty \exp(-x^2)/(x-z) dx$, dite fonction de dispersion des plasmas

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... []^1.15

Quasi-thermal noise in a drifting plasma: Theory and application to solar wind diagnostic on Ulysses, K. Issautier et al., Journal of Geophysical Research, Vol.104, pp 6691-6704, 1999.

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... fastidieux^1.16

c'est un cas où on peut se faire aider par on progiciel de calcul symbolique

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... fréquences)^1.17

en particulier on n'ajustera ce modèle aux spectres radio d'Ulysse qu'à partir des fréquences $> 0.8 f_{p}$

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... cas^1.18

précautions qui s'imposent plus généralement à toutes les méthodes de calcul dites "par différences finies".

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... cas^1.19

citons par exemple l'interpolation par un polynôme de Chebyshev, ou l'interpolation cubique spline -utilisée actuellement pour les traitements QTN d'Ulysse au Despa

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... quadratique^2.1

en anglais merit function

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... chi-carré^2.2

on parle alors de chi-carré pour $N-M$ degrés de liberté

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... critère^2.3

un critère un peu plus précis est: si la moyenne du $\chi ^{2}$ est $N-M$ et son écart-type $\sqrt{2(N-M)}$

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... fonctions^2.4

qui peuvent être sauvagement non-linéaires en $x$, le terme linéaire s'appliquant ici à la dépendance du modèle par rapport aux paramètres $a_k$

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... adaptée^2.5

par exemple par une factorisation ``LU'' ou par la méthode de Cholesky puisque ${\bf A}^t{\bf A}$ est une matrice définie positive - mais la méthode de Gauss-Jordan aura l'avantage de calculer explicitement la matrice de covariance

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...invhess). ^2.6

Reste à traduire toute cette stratégie numérique sous forme d'un programme efficace, ce qui est par exemple bien fait dans la subroutine (fortran) MRQMIN de Numerical Recipes, pp680-682.

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... normale^2.7

on montre plus généralement que si $\nu$ composantes sont fixées, le $\Delta \chi^2_{\nu}=\chi^2_{M-\nu}-\chi^2_{min}$ est distribué selon une distribution en chi-carré à $\nu$ degrés de liberté (et dans le cas étudié ici $\nu =1$)

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