0.4.2 Formulation variationnelle du problème.

Principe des travaux virtuels

Ce principe peut s'énoncer ainsi: lorsqu'on considère un champ de déplacement test $v(x,y)$ défini sur le volume $\Omega$ (nul sur $\Gamma_{1}$), alors la somme des travaux «virtuels» opérés lors de ce déplacement par toutes les forces extérieures et intérieures au système est égale au travail virtuel des quantités d'accélération, c'est-à-dire nul si le système est à l'équilibre statique. Autrement dit, en élastostatique, le travail virtuel des efforts internes générés par les contraintes (dues à l'élasticité/rigidité du solide) doit compenser exactement le travail virtuel des efforts externes, ce qui s'écrit au vu de (49)

$$\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} \int_{\Omega} \frac{\partial \sigma_... ...ial x_{j}}(u)v_{i} d\Omega + \sum_{i=1}^{2} \int_{\Omega} f_{i}v_{i} d\Omega =0$$ (53)

et en intégrant par partie, avec le théorème de la divergence généralisée¹², et en tenant compte de (51,52), on obtient la formulation variationnelle du problème précédent :

$$\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\int_{\Omega}\sigma_{ij}(\vec{u})\var... ...{\Omega} f_{i} v_{i} d\Omega + \int_{\Gamma_{4}} F_{i} v_{i} d\varsigma \right)$$ (54)

pour tout champ de vecteur déplacement test $v$ défini sur $\Omega$ et nul sur $\Gamma_1$ et suffisamment régulier¹³. On voit que le terme de gauche dans (54) est une forme bilinéaire $a(u,v)$ dans cet espace des champs de déplacements, et le terme de droite une forme linéaire $l(v)$.

La résolution du problème initial va donc se traduire par:
-trouver un déplacement $u(x,y)$ défini sur $\Omega$, nul sur $\Gamma_1$, tel que $a(u,v)=l(v)$, quelque soit $v$ défini sur $\Omega$, nul sur $\Gamma_1$. Sous des hypothèses de régularités des données (géométriques et physiques) toujours vérifiées dans la pratique et en particulier dans le cas qui nous occupe, la théorie assure l'existence et l'unicité d'une solution $u$ (théorème de Lax-Milgram).

Il ne reste plus qu'à discrétiser l'espace vectoriel des champs de déplacement défini ci-dessus, c'est-à-dire poser le problème linéaire $a(u,v)=l(v)$, qui est posé a priori dans un espace vectoriel de dimensions infinies, sous la forme d'un problème linéaire en dimensions finies, qui s'écrira alors $A.u=b$, où est une matrice carrée de dimension finie $n$ (dite «matrice de rigidité») et $u$(inconnue) et $b$(second membre dépendant des conditions aux limites) sont des vecteurs de dimension $n$ : c'est l'objet de la méthode dite «des éléments finis»