0.1.2 Cas d'un fluide incompressible: Les équations de Navier-Stokes

La loi d'état d'un milieu incompressible s'écrit

$$\vec{\nabla}\cdot \; \vec{U} = 0$$ (6)

Cette incompressibilité et l'homogénéité (i.e. $\rho$ est invariant par rapport à l'espace) du fluide font que la conservation de la masse signifie simplement $\rho=\rho_{0}=$constante et que le tenseur des contraintes est réduit à :

$$\sigma_{ij}= -p\delta_{ij}+2\mu \varepsilon_{ij}(u)$$ (7)

d'où la nouvelle forme de (2):

$$\rho_{0} \left( \frac{\partial u_{i}}{\partial t} + \sum_{j=... ... \frac{\partial p}{\partial x_{i}} = f_{i} + \mu \Delta u_{i}$$ (8)

ou son expression vectorielle ³ :

$$\frac{\partial \vec{U}}{\partial t} + (\vec{U}\cdot\vec{\nab... ... \vec{\nabla} p/\rho_{0} = \vec{f}/\rho_{0} + \nu\Delta\vec{U}$$ (9)

où $\nu=\mu/\rho_{0}$ est la viscosité cinématique du fluide.

Le système d'équations non-linéaire {(6),(9)} est connu sous le nom de Navier-Stokes; il comporte quatre équations aux dérivées partielles (dont trois du second ordre) pour la détermination de quatre inconnues: $u_{1},u_{2},u_{3}$ et $p$, des données initiales sur $\vec{U}$et $p$ et les conditions aux limites de type (4),(5), plus éventuellement des conditions de continuité si la frontière $\Gamma$ comporte une surface libre (voir note 2).