0.1.4 Linéarisation des équations de Navier-Stokes

approximation de Stokes

Une version linéaire des équations de Navier-Stokes apparaît assez naturellement lorsque le mouvement est suffisamment lent pour que $u_{i}$ et $\partial u_{i}/\partial u_{j}$ soient considérés comme petits; on est alors conduit à la simplification suivante du système de Navier-Stokes:

$$\vec{\nabla}\cdot \; \vec{U} = 0$$

$$\frac{\partial \vec{U}}{\partial t} - \nu\Delta\vec{U} = \vec{f}/\rho_{0} - \vec{\nabla} p/\rho_{0}$$ (15)

$$\vec{U} = 0 \;{\rm sur}\; \Gamma$$

Ce système constitue l'approximation de Stokes⁴ et s'utilise surtout pour modéliser des écoulements lents et stationnaires ( $\frac{\partial \vec{U}}{\partial t}=0$), comme par exemple l'écoulement stationnaire d'un fluide visqueux incompressible qui sera traité section 0.1.5.

Linéarisation des équations d'Euler

Dans le cas d'un fluide parfait compressible, et sous les mêmes conditions que précédemment (mouvement «lent»), nous allons voir par un exemple traité dans la section 0.1.5 qu'on peut aboutir à formuler le problème d'écoulement fluide sous la forme d'un système linéaire d'équations aux dérivées partielles. Cependant, à la différence de l'approximation de Stokes -qui consiste à négliger le terme non-linéaire dans les équations de Navier-Stokes, il s'agit ici de «linéariser» cet opérateur, et cela s'effectue au cas par cas, selon la nature du problème considéré (en particulier loi d'état du fluide et géométrie du domaine $\Omega$ et de sa frontière) et des conditions aux limites. Ces systèmes linéarisés sont utiles par exemple pour étudier l'écoulement de l'air autour du fuselage et des voilures dans les allures à faible vitesse par rapport à celle du son, des circulations de fluides dans les corps poreux ou encore pour «approcher» les modèles comportant des équations de transport ou de diffusion (dans le cas de la magnétohydrodynamique par exemple).

Notons, pour conclure sur ce «survol» des équations qui régissent la mécanique des fluides⁵, qu'on est amené à utiliser l'une ou l'autre des approches qui précèdent en fonction des besoins de précision du calcul et de la puissance de calcul/mémoire dont on dispose; par exemple pour les calculs de l'industrie aéronautique en ``soufflerie numérique'', on réalise un compromis entre le degré d'approximation retenu pour l'équation du fluide ``air'' et le niveau de complication avec lequel on représente la géométrie de l'avion; on utilisera ainsi:
-l'équation de Navier-Stokes pour traiter l'écoulement autour d'un profil d'aile
-l'équation d'Euler pour un sous-ensemble de l'avion
- l'équation linéarisée pour traiter l'avion entier.